Main content
Current time:0:00Total duration:16:55

Video transcript

Hajde da nastavimo da se igramo sa našim determinantama da vidimo da li možemo da dobijemo još korisnih rezultata. I možda neće biti odmah očigledno da su korisni, ali ćemo ih možda koristiti kasnije kada budemo istraživali druge oblasti linearne algebre. Recimo da imam neku matricu, nazovimo je matrica X. Matrica X je jednaka -- počeću sa slučajem 3 puta 3 jer mislim da je 2 puta 2 trivijalan slučaj. Zapravo, zašto ne bih počeo sa slučajem 2 puta 2. Recimo da je matrica X a, b, i da onda ima x1, x2. Mogao sam ih nazvati c i d, ali ćete uskoro videti zašto sam ih nazvao x1 i x2. I recimo da imam i drugu matricu. Recimo da je matrica Y identična matrici X osim ovog reda. Dakle, matrica Y je a, b, y1 i y2. I recimo da imamo i treću matricu Z. Ona ima identičan prvi red kao i prve dve matrice. Dakle, a, b. Ali u 2. redu je suma drugih redova X i Y. Na ovom mestu će dakle biti x1 plus y1, i na ovom ovde mestu će biti x2 plus y2. Želim da naglasim da Z nije X plus Y. Nisu svi elementi matrice Z zbir elemenata matrica X i Y. Fokusiram se samo na 1 određeni red. I ovo je uobičajen obrazac koji ćete viđati često, i videli smo ga u prethodnom videuu, i pretpostavljam da ćete ovde videti da determinante ili izračunavanje determinanti nije linearna na operacijama nad matricama, ali jeste linearna na operacijama koje radiš samo na jednom redu. Dakle, u ovom slučaju, sve ostalo je isto osim ovog reda, i Z ima isti prvi red izuzev ovih elemenata, ali njen drugi red je zbir drugih redova ovih matrica. Hajde da ispitamo kakav je odnos između determinanti ovih matrica. Dakle determinanta - hajde da koristimo boje matrice X. Determinanta matrice X - zapisaću je ovako - jednaka je ax2-bx1 To ste videle puno puta. Determinanta matrice Y jednaka je ay2 - by1. I determinanta matrice Z jednaka je a puta (x2+y2) minus b puta (x1+y1), što je jednako ax2 + ay2 -- samo smo izmnožili sa a -- minus bx1 - by1. I ako samo promenimo raspored, dobićemo da je ovo jednako -- zapisaću to ovako -- ovo je jednako ax2-bx1. Dakle to su ovaj element i ovaj element, promenili smo boje. Dakle, to su ova dva elementa. I onda plus ay2 minus by1. I šta je sad ovo ovde? Ovo je determinanta matrice X. I ovo ovde je determinanta matrice Y. Dakle, ako imamo matrice koje su potpuno identične osim jednog reda -- i u ovom slučaju je to matrica 2 puta 2, pa izgleda kao pola matrice -- i Z, taj red za koji kažemo da je različit, je suma redova druge dve matrice, tada je determinanta matrice Z suma druge dve determinante. Dakle, ovo je veoma specijalan slučaj. I želim da ga ponovim. Ovo važi samo u slučaju kad je samo ovaj red zbir ovog reda i ovog reda, i kada su matrice inače identične. Sada ću vam pokazati slučaj 3 puta 3, i mislim da će biti malo opštiji. I onda prelazimo na n puta n. I onda je, zapravo, slučaj n puta n, na neki način, najlakši, ali je nekako apstraktan, pa volim da ga ostavim za kraj. Hajde da predefinišemo sve 3 matrice za slučaj 3 puta 3. Recimo da je X jednaka a, b, c -- hajde da koristimo 3. red kao red za računanje determinante -- a, b, c, d, e, f -- zapravo hajde da ipak koristim srednji red da ne biste pomislili da uvek mora da bude poslednji red. Dakle neka bude x1, x2, x3, i imate d, e, f. I šta će biti determinanta matrice X? Determinanta matrice X biće jednaka -- recimo da koristimo ovaj ovde red, to je red koji smo i rekli da nas interesuje. Biće jednaka -- sećate se svoje šeme šahovske table -- minus, plus, minus, plus -- sećate se svega ostalog kako ide. Dakle, počeće sa -x1 puta podmatrica -- otarasite se te kolone, tog reda -- b, c, e, f. Onda imate plus x2 puta podmatrica -- otarasite se te kolone, tog reda -- a, c, d, f. I, na kraju, minus x3 -- otarasite se reda i kolone -- imate a, b, d, e. Sada ću definisati drugu matricu Y, identičnu matrici X, izuzev tog reda. Dakle imamo a, b, c. I dole d, e, f. Srednji red je drugačiji. Biće y1, y2 i y3. Šta će biti determinanta matrice Y? Determinanta od Y? Biće identična determinanti od X jer će sve podmatrice biti iste kada precrtate ovaj red i svaku od kolona. Ali koeficijenti će biti drugačiji. Umesto x1 imaćete y1. Dakle biće jednaka -y1 puta determinanta b, c, e, f plus y2 puta determinanta od a, c, d, f minus y3 puta determinanta od a, b, d, e. Mislim da vidite kuda ovo vodi. Sada ću da kreiram novu matricu. Kreiraću novu matricu Z tako da je jednaka -- identična je ovim dvema matricama u prvom i trećem redu, a, b, c, d, e, f. Baš tako. Ali ovaj red će biti zbir ovog reda i ovog reda. I kada računamo determinantu koristeći ovaj red -- možete to videti ovde. Dakle, ovaj red ovde će biti x1 + y1, to je prvi element. x2 + y2, i onda imate x3 + y3. Šta će biti determinanta matrice Z? Možemo je računati koristeći baš ovaj red. Dakle, biće -(x1 + y1) puta njena podmatrica -- otarasite se ovog reda, ove kolone -- dobićete b, c, e, f. Mislim da definitivno vidite kuda ovo vodi. Plus ovaj koeficijent, plus x2 plus y2 puta njegova podmatrica -- otarasite se ovog reda, ove kolone -- a, c, d, f. I onda imate minus ovaj ovde element, x3 + y3 puta njegova podmatrica -- otarasite se ove kolone i reda -- a, b, d, e. Šta imate ovde? Ovo je determinanta od Z. Ovo ovde je determinanta od Z. Ovo ovde. Mislim da odmah možete videte da ako dodate ovo ovome dobićete ovo ovde, zar ne? Pošto imate ovaj koeficijent i ovaj koeficijent. Ako ih saberete dobićete minus x1 plus y1. Ovo i ovo u zbiru daju ovo. I ako saberem ovaj element sa ovim, dobiću ovo ovde. Hajde da uradim još jedan. I na kraju taj element plus taj element u zbiru daju taj element. Dakle, odmah vidite da je determinanta, ili se nadam da odmah vidite, da je determinanta od X plus determinanta od Y jednaka determinanti od Z. Dakle, uradili smo ovo za slučaj 2 puta 2, upravo smo uradili i za slučaj 3 puta 3. Mogli bismo da uradimo i za slučaj n puta n da bismo znali da radi. Ali argument je identičan kao za slučaj 3 puta 3. Pa je dobro da to zapamtite, jer je slučaj 3 puta 3 lako zamisliti, a n puta n je ponekad malo apstraktan. Hajde da ponovo definišem matrice. Uradiću ponovo istu stvar. Dakle, imaću ponovo matricu X. Ali je sada matrica n puta n. Zapisaću je ovako. Recimo da imamo a 1,1, a 1,2, sve do a 1,n. I ovde imamo neki red, recimo da ovde imamo neki red -- nazovimo ovaj ovde red i -- i neka su tu elementi x1, x2, sve do xn, ali sve ostalo su samo regularni a-ovi. Napisaćemo ovde a21, sve do a2n. I ako odete skroz do dole imaćete an1, sve do ann. Dakle, u osnovi, možete zamisliti našu osnovnu matricu gde je sve definisano sa a, ali smo zamenili red i određenim brojevima koji su malo drugačiji. I mislim da vidite kuda idem. Sada ću definisati drugu matricu. Definisaću matricu Y. Hajde da definišemo matricu Y da u suštini bude ista stvar. Ovo je a11 -- isto je a11. Ovo je a12, sve do a1n. Ovo je a21, i možemo ići sve do a2n. I onda, u redu i, u istom redu, ovo je n puta n, ovo je takođe n puta n -- ako je ovo 10 puta 10, i ovo bi bilo 10 puta 10. Ako je ovo 7. red, onda je i ovo 7. red. Ima drugačije elemente. Identična je matrici X izuzev reda i. U redu i je y1, y2, sve do yn. I ako nastavite ka dole, naravno, imaćete an1, sve do ann. Pošteno. Sada recimo da imamo 3. matricu. Hajde da imamo 3. matricu. Zapisaću je ovde. Dakle, imate Z, Z je jednaka -- mislim da možete da zamislite kuda ovo vodi. Z je indentična ovim dvema osim za red i. Hajde da zapišem. Dakle, Z izgleda ovako. Imate a11, a12, sve do a1n. I onda idete ka dole i onda će red i biti suma redova i matrice X i matrice Y. Dakle, biće x1 + y1, x2 + y2, sve do xn + yn. I ako nastavite ka dole, sve ostalo će biti identično, an1 sve do ann. Dakle, sve ove matrice su identične osim što X ima drugačiji red i od matrice Y. I matrica Z je svugde ista osim u redu i, koji je zbir ovog reda i ovog reda i. Dakle, ovo je poseban slučaj, ali možemo da odredimo njihove determinante. Dakle, šta su determinante? Determinanta od X, determinanta matrice X -- i nadajmo se da vam možda odgovara da zapišete zapis sa sumom, ovo smo radili za poslednju matricu. Možemo posmatrati ovaj red, i za svaki od njegovih elemenata možemo reći da će biti jednak sumi. Recimo da krećemo od j je jednak 1 -- j će određivati kolonu, tako da ćemo uzeti sumu svakog od ovih elemenata od j jednako 1 do n. I onda se setite našeg šablona šahovske table, pa ne znamo da li je ovo pozitivno ili negativno. Možemo to odrediti uzimajući -1 na (i+j) -- setite se, ovo je i-ti red o kom govorimo -- puta xj -- xj je koeficijent puta matrica za xj. Ako se otarasite ovog reda i ove kolone šta ćemo dobiti? Možemo reći da je to ista stvar kao i podmatrica, ako smo nazvali ovo -- zapisaću to ovako -- ako smo se otarasili ovog reda i ove kolone, ako bismo imali uobičajenu matricu, gde ovo nije zamenjeno. Ako bismo imali ai1, ai2, njena podmatrica bi bila ista stvar, jer precrtavamo ovaj red i ovu kolonu. Dakle, bili bi svi ovi elementi i svi ovi elementi dole. Dakle, to bi bila podmatrica -- ovo je (n-1) puta (n-1) matrica -- to bi bila podmatrica za aij. Ovo je za prvi element -- izvinjavam se, determinantu. Ne želimo da izgubimo determinante ovde -- puta determinanta podmatrice Aij. I to je za prvi element, i onda nastavljate da dodajete naredni element, i samo ćete tako da nastavite. Tome služi ovaj znak za sumu. To je determinanta od X. Šta je determinanta od Y? Determinanta od Y je jednaka sumi -- možemo uraditi istu stvar -- j ide od 1 do n, (-1) na (i+j) Ići ćemo duž ovog reda, i-tog reda. Imaćemo yj -- počećemo sa y1, onda y2, puta determinanta njene podmatrice, koja je ista kao i determinanta ove matrice. Dakle, kada se otarasite tog reda i te kolone za svaki od elemenata sve ostalo u matrici je isto. Dakle Aij. Matrica od aij. Šta je sada determinanta od Z? Prilično sam sigurna da znate tačno kuda ovo vodi. Determinanta -- ovo bi trebalo da bude veliko Y ovde -- determinanta od Z je jednaka sumi, j ide od 1 do n, od (-1) na (i+j) Idemo duž ovog reda. Ali su koeficijenti sada xj, to je ono što indeksiramo xj + yj. I onda puta njegova podmatrica, koja je ista kao ove podmatrice. Dakle Aij, pa možda odmah vidite da je suma ova dva izraza. Ako sada, za svaki j, saberemo ova 2 izraza, imamo 2 koeficijenta -- možete imati ovaj koeficijent i ovaj koeficijent uz Aij, i onda, kada ih saberete, možete izvući ovo i dobićete tačno ovo. Dakle, dobijate da je determinanta od X plus determinanta od Y, jednako determinanti od Z. Nadam se da vam ovo pokazuje opšti slučaj. Ali želim da razjasnimo, ovo je samo za jako specifičan scenario kada su 3 matrice identične, osim u jednom redu. I jedna od matrica u tom posebnom redu je suma druge dve matrice po tom redu, i sve drugo je identično. Jedino u tom slučaju je determinanta -- nije jedini slučaj, ali to je jedini slučaj kada možemo da donesemo opšti zaključak da je determinanta od Z jednaka determinanta od X plus determinanta od Y. To nije slučaj -- zapisaću šta nije slučaj -- dakle, nije slučaj da ako je Z jednako X plus Y, nije slučaj da je determinanta od Z uvek jednaka determinanta od X plus determinanta od Y. Ovo ne možete pretpostaviti. Operacije nad determinantama nisu linearne za sabiranje matrica. Linearne su samo na određene redove koji su uključeni. U svakom slučaju, nadam se da vam je ovo bar malo korisno.