Current time:0:00Total duration:7:56
0 energy points
Sal uses a clever proof involving similar triangles to show that slope is constant for a line. Created by Sal Khan.
Tags
Video transcript
ஒரு கோட்டினை இயற் கணிதவியலில் சொல்ல முயற்சிப்போம் நாம் வரைகிற கோடு X இல் இருந்து பார்க்கும் போது Y க்கு நிலை மாற்றம் கொண்டுள்ளது. மற்றொரு வகையில் சொல்வதானால் நமது கோடானது நேராக இல்லாமல் அதாவது நிலையாகச் சாய்ந்துள்ளது நம்முடைய Y இன் மாற்றத்திற்குத் தகுந்தவாறு சாய்வு நிலைபெறும் என்று புரிந்து கொள்ளலாம். ஆங்கில இணைப்பெழுத்து தான் Y இன் முக்கோண மாற்றத்தைக் குறிக்கும் சுருக்க வழி அதாவது Yயில் ஏற்படும் மாற்றம் Y முக்கோணம் என்பது x மீது ஏற்படும் மாற்றத்தைக் குறிக்கிறது. இங்கே உள்ள இந்தக் கோட்டினை எடுத்துப் பார்த்தால் இந்தக் கோட்டிற்கு இது நிலையாக உள்ளது இந்தக் காணொலியில் நாம் காணவிருப்பது இதுதான் வடிவியலில் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் இரண்டு முக்கோணங்களைப் பயன்படுத்தி மிகச்சரியாக என்ன கிடைக்கிறது என்பதைப் பார்க்கப் போகிறோம் ஆகவே முதலில் இரண்டு அடுக்குகளின் இரண்டு புள்ளிகளைப் பார்ப்போம் சரி, இந்தப் புள்ளி இங்கே இருக்கிறதென்று வைத்துக் கொள்வோம். இந்தப் புள்ளிகளை நிறத்தில் வேறுபடுத்திக் கொள்ளலாம் இந்தப் புள்ளியை இங்கே துவக்குவோம் இந்தப் புள்ளியில் வந்து முடிகிறது அப்படியானால் இந்தப் புள்ளிகள் இரண்டிற்கும் இடையில் இல் X கோட்டில் என்ன மாற்றம் நிகழ்கிறது? இந்தப் புள்ளியின் X மதிப்பு இங்கே இருக்கிறது சரியா..? இந்தப் புள்ளியின் X மதிப்பு இங்கே இருக்கிறது அதனால X இல் ஏற்படும் மாற்றம் இங்கே வெளிப்படும் Y யில் என்ன மாற்றம் ஏற்படும்? சரி இந்தப் புள்ளியின் y மதிப்பு இங்கே இருக்கு அதேபோல இந்தப் புள்ளியின் Y மதிப்பு இதோ இங்க இருக்கு அதனால இந்த உயரம் அல்லது இந்த உயரம்தான் Y இல் ஏற்படும் மாற்றம் இப்போ Y' யில் ஏற்படும் மாற்றம் நமக்குத் தெரியுது அடுத்து வேற இரண்டு புள்ளிகளைப் பார்ப்போமா? இந்தப் புள்ளி இங்க இருக்கு. இன்னொரு புள்ளி இங்க இருக்கு சரியா... இதையும் முன்னாடி பார்த்த அதே முறையில தான் பார்க்கப் போறோம். சரி X இல் நடக்கும் மாற்றம் என்ன? இப்போ பார்க்கலாம் இந்தப் புள்ளியின் X மதிப்பைக் காண இந்த இடத்தை எடுத்துக் கொண்டால் இந்தப் புள்ளியின் மதிப்பு இங்கே கிடைக்கும் அதனால நாம இங்கே ஆரம்பித்தால் இவ்வளவு தூரத்திற்குப் போகணும் அந்தப் புள்ளிக்கும் இந்தப் புள்ளிக்கும் இடையில x இல் மாற்றம் ஏற்படும் ஏற்படப் போகும் மாற்றம் இதுதான் இதையும் நாம் பச்சை நிறத்திலேயே குறிக்கலாம் ஆக இதுதான் X இல் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையில ஏற்படக்கூடிய மாற்றம் Y யில் ஏற்படக் கூடிய மாற்றம் Y யின் மதிப்பு இங்க அதாவது மேலே இங்க இருக்கு y யின் மதிப்பு y யில் ஏற்படக் கூடிய மாற்றம் இங்கே இருக்குதுன்னு பார்த்தாச்சு அடுத்து நாம என்ன பார்க்கப் போறோம் இந்த இரண்டு இடு புள்ளிகளை எடுத்துக்குவோம் Y யில் ஏற்படும் மாற்றவிகிதத்தைப் பார்க்கலாம் X இல் ஏற்படப் போகும் அதே மாற்ற விகிதம் தான் Y யிலும் நிகழ்கிறது. மாற்றங்களும் மாற்ற விகிதங்களும் இரண்டிலும் ஒரே மாதிரியாகவே நிகழ்கின்றன. அதாவது இளஞ்சிவப்புப் பக்கத்தில் நிகழும் மாற்ற விகிதமே பச்சை நிறப்பக்கத்திலும் நிகழ்கிறது அதேபோல பச்சை நிறப்பக்கத்தில் நிகழ்வது போலவே ஏற்படும் விகித அளவில் இளஞ்சிவப்புப் நிறப்பக்கத்திலும் நிகழ்கிறது நினைவிருக்கட்டும் நாம் இப்போது எடுத்திருப்பது இரண்டு அடுக்கு இடு புள்ளிகள் கணக்கிட்டுப் பார்ப்பதும் ஒரே முறையில் தான். ஒரு முக்கோணத்தை கணக்கிட எடுத்துக் கொண்டால் என்ன முறையைக் கையாள்கிறோமோ அதே முறையைத் தான் அனைத்திற்கும் பின்பற்றப் போகிறோம் அனைத்திற்கும் ஒரே வழிமுறை தான் என்பதை நினைவில் வைத்துக் கொள்ளுங்கள் இரண்டு முக்கோணங்களும் ஒரே மாதிரியானவை அவற்றை பெருக்கும் முறையும் ஒரே மாதிரி தான். அவற்றை ஒன்றிற்கொன்று தொடர்பு படுத்திப் பார்க்கப் போனால் அவற்றின் மூன்று கோணங்களும் ஒரே மாதிரியாகத்தான் இருக்கும். அல்லது ஒத்திசைவாக இருக்கும். இங்கே நாம கவனத்துல வைத்துக் கொள்ள வேண்டியது மூன்று கோணங்களும் மிகச் சரியாக ஒரே சம அளவாக இருப்பதில்லை. மூன்று கோணங்களின் ஒத்த அளவும் ஒரே மாதிரியாகத் தான் இருக்கும். மூன்று ஒத்த அளவுகளும் சம அளவுகளாகத் தான் இருக்க வேண்டும் அல்லது ஒத்திசைவாக இருக்கும் என்று சொல்லலாம். எடுத்துக் காட்டாகப் பார்த்தால்.... இந்த முக்கோணத்தை எடுத்துக்குவோமே இது முப்பது டிகிரி, இந்த அளவு முப்பது டிகிரி அப்போது இந்தக் கோணம் தொண்ணூறு இல்லையா.... அடுத்து இங்க ஒரு முக்கோணத்தைப் பார்க்கலாம் இதை எப்படி வரையிறதுன்னா....... இந்தக் கோணம் ஒரு முப்பது, அடுத்து இதுவொரு அறுபது அப்போ இந்தக் கோணம் 90 டிகிரி இல்லையா....? அவற்றின் பக்க நீளங்கள் மாறுபட்டிருந்தாலும் அவை ஒரே மாதிரியிலான முக்கோணங்களே இதை நாம் அளந்து பார்க்க வேண்டியுள்ளது. கோண அளவுகள் இரண்டும் ஒரே அளவாக ஒன்று அறுபது என்று இருந்தால் மற்றொன்று முப்பதாக இருக்கும் அப்படியானால் மூன்றாவது அளவு தொண்ணூறகத் தான் இருக்க முடியும். அதனால இரண்டு முக்கோணங்களும் ஒரே மாதிரியானவே தான் அடுத்து ஒரே மாதிரியான முக்கோணங்களின் அமைப்புத் தன்மையைப் பார்ப்போம். இரண்டு முக்கோணங்களும் ஒரே மாதிரியானவை என்பதை உறுதிப்படுத்தினால் அவற்றின் புறக் கோடுகளுக்கு இடையிலான விகிதாச்சாரமும் ஒரே அளவாகத்தான் இருக்க வேண்டும் முக்கோணங்களின் வடிவம் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்போது ஒவ்வொரு பக்க அளவுகளின் விகிதமும் சமமாகத்தான் இருக்க வேண்டும் இந்த இளம் சிவப்பு பக்கத்தில் இருந்து இந்தப் பக்கம் வரை வரைந்து கொள்வோம் இது சாய்வுக் கோட்டின் அளவு நிலையாக உள்ளது என்பதை நிறுவ நமக்கு உதவியாக இருக்கும் ஏனென்றால் நாம் அனைத்தையும் பார்க்க வேண்டியுள்ளது. இரண்டு முக்கோணங்களும் ஒரே மாதிரியாக இருக்குமானால் தொடர்புப் பக்கங்களுக்கிடையிலான விகிதாச்சாரமும் எப்போதும் ஒரே மாதிரியாகத்தான் இருக்கும் நாம் இரண்டு தொடு புள்ளிகளை வரைந்திருக்கிறோம் இந்தக் கோட்டிற்கு குறுக்கே வரையும் எந்த இரண்டு தொடு புள்ளிகளும் சரியாகத் தான் இருக்கும். அதன் நீளம் முழுவதிலும் சரியாகவே இருக்கும் இனி இந்த இரண்டும் எப்படி ஒரே மாதிரியானவை என்பதைப் பார்ப்போம் முதலில் இவை இரண்டும் சம பக்க முக்கோணங்கள் அடுத்து இந்த பச்சைக் கோடுகள் இரண்டும் கச்சிதமான கிடைக் கோடுகள். இளஞ்சிவப்புக் கோடுகள் இரண்டும் கச்சிதமான நெடுக்குக் கோடுகள் ஏனென்றால் இங்கே பச்சைக் கோடுகள் இரண்டும் கிடைமட்டத்தில் தான் செல்கின்றன அதேபோல் இளஞ்சிவப்புக் கோடுகள் நெடுக்கு வசமாகச் செல்கின்றன அதையும் வரைந்து பார்த்துகலாம் இந்த இரண்டும் சம பக்க முக்கோணங்கள். அது நமக்குத் தெரியும் அதற்கு ஒத்திசைவாக ஒரு தொடர்புக் கோணம் இருக்கிறது. இப்போது நாம் அடுத்த பக்கத்தைப் பார்த்துட்டா இன்னொரு பக்கத்தை எளிதாக தெரிஞ்சுக்கலாம் இணைக் கோடுகள் மற்றும் குறுக்குக் கோடுகள் பற்றிய நம்முடைய அறிதலை இங்கே பயன்படுத்தலாம் இந்த இரண்டு பச்சை நிறக் கோடுகளையும் பார்த்துட்டு பார்ப்போம் அவற்றைத் தொடரலாம் இவை எல்லாம் கோடுகள் பற்றியவை. ஆனால் நாம் கோடுகள் பற்றிப் பார்க்கப் போனால் தொடர்ந்து பார்த்துக் கொண்டே போகலாம் சரி இங்கே இருப்பதைப் போல கணக்கிட்டுப் பார்க்கலாமா... இது ஒன்றாவது கோட்டிற்கு இணையாக இருக்கிறது இது மிகச் சரியாக கிடைக் கோட்டிற்கு இணையாக இருக்க வேண்டும். இப்போது ஆரஞ்சு நிறக் கோடு குறுக்குக் கோடாகி இருப்பதைக் காணலாம். இதைக் குறுக்குக் கோடாகப் பார்ப்பீர்களானால் இந்தக் கோணம் அடுத்த கோணத்துடன் தொடர்புறுவதை அறிய முடியும். அதிலிருந்து இணைகோடுகளின் குறுக்குக் கோடுகளைப் பிரிக்க முடியும். தொடர்புக் கோடுகள் ஒன்றிற்கொன்று இசைவானவை. ஆகவே இந்தக் கோணம் இங்கே இருக்கிற மற்றொரு கோணத்திற்கு இசைவானவை இப்போது இந்தக் கோணத்தைப் போன்றது என்று நம்மால் கூற முடியும் ஆனால் இங்கே இரண்டு நெடுக்குக் கோடுகளைப் பயன்படுத்துகிறோம் இவற்றைப் பற்றித் தெரியும் என்பதால் கோடுகளைத் தொடர்ந்து பார்க்கலாம் அது நெடுக்குக் கோடு என்று நாம் கருதுவோமேயானால் அதனை அப்படியே கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளலாம் ஒரு நெடுக்குக் கோடு நமக்குத் தெரிகிறபோது one as a vertical line. மற்ற இரு கோடுகள் நமக்கு எளிதாகத் தெரிந்து விடும் நெடுக்கு வசத்தில் y பக்கமாகவே மிகச் சரியாக அளந்து விடலாம் அதனால் அந்தக் கோடு இங்கே இருக்கிற கோட்டிற்கு இணையாக உள்ளது மீண்டும் ஒருமுறை இந்த ஆரஞ்சு நிறக்கோடு இதற்குக் குறுக்காக வருகிறது இந்தக் கோணமும் இங்குள்ள கோணத்துடன் தொடர்புறுகிறது அதன் இசைவுக் கோணங்கள் இங்கே இருக்கின்றன இரண்டு இணை கோடுகளின் குறுக்கின் தொடர்பு கோணங்கள் இவற்றிற்கு இசைவாக உள்ளன. இப்போது நாம் இங்கே அறிந்து கொண்டது இவற்றின் வடிவியல் பகுப்பு இதனுடன் தொடர்புடைய மற்ற கோணங்கள் எல்லாம் இதன் இசைவுக் கோணம் தான் இந்தக் கோணம் இதற்கு இசைவானது அடுத்து இவை இரண்டும் தொண்ணூறு கோணங்கள் அதே போல் இவையிரண்டும் ஒரே மாதிரியான சம பக்க முக்கோணங்கள் இதை இங்கே எழுதிக் கொண்டால் இவை இரண்டும் சம பக்க முக்கோணங்கள் என்பது நமக்குத் தெரியும். இந்த இரண்டு பங்கங்களுக்கும் பொதுவான விகிதத்தைப் பயன்படுத்தலாம். எடுத்துக் காட்டாக இந்தப் பக்கத்தை நீளம் a என்ற எடுத்துக் கொண்டால் இதனை நீளம் b எனலாம் அப்படியானால் இது நீளம் c அதே போல இந்தப் பக்கம் நீளம் d. We know for a fact that the ratio, because these are similar triangles, a க்கும் b இடையிலான தொடர்புறு விகிதம் c க்கும் d க்கும் இடையிலான தொடர்புறு பக்க விகித த்திற்கு சமமாக இருக்கும். இதை விரிவாகப் பார்ப்போமானால் இந்தச் சாய்வு விகிதமானது x இன் மீது y அடையும் மாற்றத்தைப் பொறுத்தது. அது நிலையாகவும் இருக்கும். ஏனென்றால் எந்தச் சம பக்க முக்கோணமும் இந்த இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையில் உருவாக்கப்பட்டது எனவே அவை இரண்டும் சமமாக ஆகக் கூடியவை என்று காட்டலாம். அவை ஒத்த தன்மையுடன் இருக்கும் போது அதன் நெடுக்குக் கோட்டின் நீள விகிதாச்சாரத்தின் பகுதி கிடைக் கோட்டுப் பகுதிக்கு நிலையாக இருக்கும் இது தான் சாய்வுப் பக்கத்திற்கான விளக்கம் எனவே சாய்வானது எப்போதும் ஒரு கோட்டிற்கு நிலையாக இருக்கும்