Curl 1 Introduction to the curl of a vector field
⇐ Use this menu to view and help create subtitles for this video in many different languages.
You'll probably want to hide YouTube's captions if using these subtitles.
- Before I actually show you the mechanics of what the curl of a
- بداية قبل ان اريكم ميكانيكية التفاف المتجهات
- vector field really is, let's try to get a little
- دعونا نستخدم
- bit of intuition.
- قليلا من الحدس
- So here I've drawn, I'm going to just draw a two-dimensional
- لذلك سوف اقوم برسم بعدين
- vector field.
- لحقول المتجهات
- You can extrapolate to 3, but when we're getting
- وانت تستطيع ان تستنتجها في 3ابعاد ولكن عندما
- the intuition, it's good to do it in 2.
- نستخدم الحدس من الافضل ان نعمل في بعدين
- And so, let's see.
- وهكذا هيا نرى
- I didn't even label the x and y axis.
- لازلت لم أعين محور السينات والصادات
- This is x, this is y.
- هذا محور السينات وهذا محور الصادات
- So when y is relatively low, our magnitude vector goes in
- لذلك عندما تكون قيمة الصادات منخفضة فان متجهنايذهب
- the x direction, when it increases a little bit, it
- في اتجاه محور السينات وعندما تزداد قليلا
- gets a little bit longer.
- فان المتجه يصبح اطول قليلا
- So as we can see, as our change in the y-direction, as we go
- لذلك فإننا نلاحظ اننا عندما نغير في محور الصادات ونذهب
- in the y-direction, the x-component of our vectors
- الى اعلى فإن المركب السيني في متجهنا
- get larger and larger.
- يصبح اكبر واكبر
- And maybe in the x-direction they're constant, regardless
- وربما هناك في الاتجاه السيني ثابت مهمل
- of your level of x, the magnitude stays.
- في مستواك السيني اهمية المتجه تبقى ثابتة
- So for given y, the magnitude of your x-component vector
- لذلك فإن لقيمة ص المعطية فإن قيمة س للمتجه
- might stay the same.
- قد تبقى ثابتة
- So I mean, this vector field might look something like this.
- فأنا أعني في حقول المتجهات قد تظهر
- I'm just making up numbers.
- انا هنا اقوم بإفتراض الارقام
- Maybe it's just, I don't know, y squared i.
- أي ارقام ربما نأخذ ص مربع ع
- So the magnitude of the x-direction is just a
- لذلك فإن اهمية محور السينات هو في كونه
- function of your y-value.
- اقتران في قيمة ص
- And as your y-values get bigger and bigger, the magnitude in
- لذلك فكلما كبرت قيمة ص فإن اهمية
- your x-direction will get bigger and bigger, proportional
- الاتجاه السيني تزداد وتزداد بشكل يتناسب
- to the square of the magnitude of the y direction.
- مع مربع قيمة الاتجاه الصادي
- But for any given x, it's always going to be the same.
- لكن لاي قيمة ل س دائما تبقى نفسها
- It's only dependent on y.
- انها فقط تعتمد على قيمة ص
- So here, even if we make x larger, we still get
- لذلك حتى لو اخذنا قيمة اكبر ل س سوف نحصل على
- the same magnitude.
- نفس الاهمية والقيمة
- And remember, these are just sample points
- وتذكر دائما انها مجرد عينة من النقاط
- on our vector field.
- في حقل متجهنا
- But anyway.
- على كل حال
- That's enough of just getting the intuition behind
- هذا كفاية لكي نحصل على فكرة او تصور
- that vector field.
- عن حقل المتجهات
- But let me ask you a question.
- لكن دعني اسالك سؤال
- If I were to, let's say that this vector field shows the
- اذا اردت ان افترض ان حقل المتجه هذا يرينا
- velocity of a fluid at various points.
- سرعة السائل عند عدة نقاط
- And so you can view this, we're looking down on a river, maybe.
- وانت تستطيع رؤية هذا كأنك تنظرالى تدفق نهر مثلا
- If I were to take a little twig or something, and I were to
- اذا اخذت مثلا غصن صغير او أي شئ
- place it in this fluid, so let me place the twig right here.
- ووضعته في هذا السائل لذلك دعني اضع الغصن هنا
- Let me draw my twig.
- الان سوف ارسم غصني
- So let's say I place a twig, it's a funny-looking twig,
- لقد وضعت غصني انه غصن جميل
- but that's good enough.
- وهذا جيد كفاية
- Let's say I place a twig right there.
- لنقل بأنني وضعت الغصن هنا
- What's going to happen to the twig?
- ماذا سوف يحصل للغصن؟
- Well, at this point on the twig, the water's moving to the
- حسنا عند هذه النقطة عند الغصن فإن المياه سوف تتحرك نحو
- right, so it'll push this part of the twig to the right.
- اليمين لذلك سوف تدفع هذا الجزءمن الغصن نحو اليمين
- At the top of the twig, the water is also moving to the
- عند اعلى الغصن فإن المياه سوف تتحرك ايضا إلى
- right, maybe with a faster velocity, but it's also going
- اليمين ربما بسرعة اكبر ولكنها ايضا سوف تقوم
- to push the top of the twig to the right.
- بدفع قمة الغصن إلى اليمين
- But the top of the twig is going to be being pushed to
- ولكن الجزء العلوي من الغصن سوف يدفع إلى
- the right faster than the bottom of the twig, right?
- اليمين بشكل اسرع من الجزء الاسفل من الغصن أليس هذا صحيح؟
- So what's going to happen?
- إذن ماذا سوف يحصل؟
- The twig's going to rotate, right?
- إن الغصن سوف يقوم بالدوران أليس هذا صحيح؟
- After, I don't know, some period of time, the
- بعد ذلك ,انا لا أعرف ,بعد فترة من الزمن فإن
- twig's going to look something like this.
- الغصن سوف يبدو على هكذا
- The bottom will move a little bit to the right, but the
- إن أسفل الغصن سوف يتحرك ببطء نحو اليمين ولكن
- top will move a lot more to the right.
- الجزء العلوي يتحرك بسرعة اكبر نحو اليمين
- Right?
- اليمين؟
- And the whole thing would have been shifted to the right.
- وجميع الاشياء سوف تتحرك نحو اليمين
- But it's going to rotate a little bit.
- ولكن سوف يدور الغصن قليلا
- And maybe after a little bit further, maybe it looks
- وربما بعد فترة وجيزة قد يظهر
- something like this.
- بهذا الشكل
- So you can see that because the vectors increasing in a
- لذلك تستطيع ان ترى ان هذا يحصل لأن قيمة المتجه تزداد
- direction that is perpendicular to our direction
- في الاتجاه العامودي على اتجاه
- of motion, right?
- حركتنا ,صحيح؟
- This fairly simple example, all of the vectors point
- هذا مثال بسيط وجميل,كل نقاط المتجهات
- in the x-direction.
- في الاتجاه السيني
- But the magnitude of the vectors increase, they increase
- ولكن اهمية المتجه تزداد وتزداد
- perpendicular, they increase in the y-dimension, right?
- عموديا انها تزداد في البعد الصادي,أليس كذلك؟
- And when this happens, when the flow is going in the same
- وعندما يحصل هذا .عندما يكون التدفق ثابت في نفس
- direction, but it's going at a different magnitude, you see
- الاتجاه,ولكن قد يختلف في القيمة,انت ترى
- that any object in it will rotate, right?
- أن أي جسم هناك سوف يدور,أليس كذلك؟
- So let's think about that.
- لذلك دعنا نفكر حول ذلك
- So if the derivative, the partial derivative, of this
- اذا اخذنا المشتقة,,المستقة الجزئية,لهذا
- vector field with respect to y is increasing or decreasing, if
- المتجه بالنسبة إلي ص سواء اذا كانت تزداد ام تتناقص,اذا
- it's just changing, that means as we increase in y, or as we
- تغيرت قيمتها ,فهذا يعني اننا اذا كبرنا قيمة ص ,أو إذا
- decrease in y, the magnitude of the x-component of our vectors,
- صغرنا قيمة ص ,فإن قيمة المركب السيني في متجهاتنا
- right, the x-direction of our vectors changes.
- صحيح,الاتجاه السيني في متجهاتنا سوف يتغير
- And so if you have a different speed for different levels of
- لذلك إذا كان عندنا سرعات مختلفة لمستويات مختلفة من
- y, as something moves in the x-direction, it's going
- ص,فإذا كان هناك شئ يتحرك في الاتجاه السيني ,سوف يقوم
- to be rotated, right?
- بالدوران ,صحيح؟
- You could almost view it as if there's a net torque on an
- انك تستطيع ان ترى انه إذا كانت هناك شبكة تحيط
- object that sits in the water here.
- بالجسم الموجود في المياه هنا
- And the ultimate would be, let me draw another vector field,
- وبشكل نهائي دعني ارسم ارسم حقل متجه اخر
- the ultimate would be if I had this situation.
- الوضع النهائي قد يكون إذا كان عندي هذا الوضع
- Let me draw another vector field.
- دعني ارسم متجه أخر
- If I had this situation, where maybe down here it's like this,
- إذا كان عندي هذا الوضع ربما الهبوط هنا يكون مثل هذا
- then maybe it's like this, and then maybe it gets really
- ثم مثل هذا,ثم قد يكون حقيقة
- small, then maybe it switches directions, up here, and then
- صغير,,وقد يحول اتجاهه,يرتفع هنا,ثم
- the vector field goes like this.
- يسير المتجه هكذا
- So you could imagine up here that's going to the left, with
- وهكذا تستطيع ان تتخيل بأنه سوف يسير إلى اليسار,مع
- a fairly large magnitude.
- قيمة كبيرة
- So if you put a twig here, you would definitely hopefully see
- لذلك سوف نستنتج انك إذا وضعت غصنا هنا فإنك بشكل واضح سوف ترى
- that the twig, not only will it not be shifted to the right,
- بأن الغصن ليس فقط لن يتحرك نحو اليمين
- this side is going to be moved to the left, this side is going
- هذا الجانب سوف يتحرك نحو اليسار,هذا الجانب سوف يتحرك نحو
- to be the right, it's going to be rotated.
- اليمين,لذلك سوف يدور
- And you'll see that there's a net torque on the twig.
- وسوف ترى دوامة حول الغصن
- So what's the intuition there?
- إذن, اين الحدس هنا؟
- All of a sudden, we care about how much is the magnitude of a
- برغم كل المفاجآت,نحن نهتم بمقدار
- vector changing, not in its direction of motion, like in
- التغير في قيمة المتجه,وليس في إتجاه الحركة,مثل في
- the divergence example, but we care how much is the magnitude
- المثال السابق,ولكن نحن نهتم كم قيمة
- of a vector changing as we go perpendicular to its
- المتجه تغيرت عندما نذهب عموديا على
- direction of motion.
- إتجاه الحركة
- So when we learned about dot and cross product,
- لذلك عندما نتعلم الضرب النقطي والضرب الديكارتي
- what did we learn?
- ماذا نتعلم؟
- We learned that the dot product of 2 vectors tells you how much
- نحن نتعلم الضرب النقطي لمتجهين يخبرنا كم
- 2 vectors move together, and the cross product tells you how
- يتحرك متجهين معا,اما الضرب الديكارتي يخبرنا كيف
- much the perpendicular, it's kind of the multiplication
- ان التعامد,هو نوع من انواع ضرب
- of the perpendicular components of a vector.
- المركبات العمودية للمتجه
- So this might give you a little intuition of what is the curl.
- لذلك من الممكن ان يعطيك هذا فكرة عن الالتفاف
- Because the curl essentially measures what is the rotational
- لأنه من الضروري عند أخذ قياسات الاتفاف ان نعرف ماهو تأثير الدوران
- effect, or I guess you could say, what is the curl of a
- واستطيع ان اتوقع انك قد تقول, ما هو التفاف
- vector field at a given point?
- المتجه عند نقطة معطاة؟
- And you can you can visualize it.
- وانت تستطيع ان تتخيل ذلك
- You put a twig there, what would happen to the twig?
- انت وضعت الغصن هنا,ماذا حصل للغصن؟
- If the twig rotates and there's some curl, if the magnitude
- إذا دار الغصن وكان هناك بعض الالتفاف,اذا كانت قيمة
- of the rotation is larger, then the curl is larger.
- الدوران تكبر فإن الالتفاف يكبر
- If it rotates in the other direction, you'll have the
- إذا كان الدوران في اتجاه أخر,فسوف تحصل على
- negative direction of curl.
- اتجاه سالب في الالتفاف
- And so just like what we did with torque, we now care
- ومثلما عملنا في الطوق,نحن نهتم
- about the direction.
- بالاتجاه
- Because we care whether it's going counterclockwise or
- للأننا نهتم اذا كانت سوف تتحرك عكس عقارب الساعة أم
- clockwise, so we're going to end up with a vector
- مع عقارب الساعة,لهذا سوف نتطلع الىه
- quantity, right?
- كمية المتجه ,صحيح؟
- So, and all of this should hopefully start fitting
- لذلك,,يجب ان نطلق الاحكام
- together at this point.
- معا عتد هذه النقطة
- We've been dealing with this Dell
- يجب ان نتعاطى مع هذا الواد
- vector or this, you know, we could call this abusive
- المتجه أوكما تعلم ,اننا نستطيع ان نسمي هذه مشكلة
- notation, but it kind of is intuitive, although it really
- بالرموز,ولكنه نوع من التخمين والحدس,كذلك
- doesn't have any meaning when I describe it like this.
- تصبح بلا معنى إذا وصفتها هكذا
- You can kind of write it as a vector operator, and then it
- لك الحق في كتابتها كعامل للمتجه,وهكذا يصبح
- has a little bit more meeting.
- له القليل من الاجتماع
- But this Dell
- ولكن عامل هذا الواد
- operator, we use it a bunch of times.
- نحن نستخدم حزمة من الازمان
- You know, if the partial derivative of something in the
- انت تعرف واذا كانت المشتقة الجزئية لشئ في
- i-direction, plus the partial derivative, something with
- الاتجاه ع,بالاضافة الى المشتقة الجزئية ,شئ مع
- respect to y in the j-direction, plus the partial
- بالنسبة إلى ص في الاتجاه ج,بالاضافة إلى
- derivative, well, this is if we do it in three dimensions
- المشتقة الجزئية,حسنا,هذا ان عملنا في ثلاثة ابعاد
- with respect to z in the k-direction.
- هذا بالنسبة ال زفي الاتجاه ك
- When we applied it to just a scalar or vector field, you
- عندما نطبقه
- know, like a three-dimensional function, we just multiplied
- this times that scalar function, we got the gradient.
- When we took the dot product of this with a vector field, we
- got the divergence of the vector field.
- And this should be a little bit intuitive
- to you, at this point.
- Because when we, you might want to review our original videos
- where we compared the dot product to the cross product.
- Because the dot product was, how much do two
- vectors move together?
- So when you're taking this Dell operator and dotting it with a
- vector field, you're saying, how much is the vector
- field changing, right?
- All a derivative is, a partial derivative or a normal
- derivative, it's just a rate of change.
- Partial derivative with respect to x is rate of change
- in the x-direction.
- So all you're saying is, when you're taking a dot product,
- how much is my rate of change increasing in my
- direction of movement?
- How much is my rate of change in the y-direction increasing
- in the y-direction?
- And so it makes sense that it helps us with divergence.
- Because remember, if this is a vector, and then as we increase
- this in the x-direction, the vectors increase, we took a
- little point, and we said, oh, at this point we're going to
- have more leaving than entering, so we have a
- positive divergence.
- But that makes sense, also, because as you go in the
- x-direction, the magnitudes of the vectors increase.
- Anyway, I don't want to confuse you too much.
- So now, the intuition, because now we don't care about the
- rate of change along with the direction of the vector.
- We care about the rate of change of the magnitudes of
- the vectors perpendicular the direction of the vector.
- So the curl, you might guess, is equal to the cross product
- of our Dell operator and the vector field.
- And if that was where your intuition led you, and that
- is what your guess is, you would be correct.
- That is the curl of the vector field.
- And it is a measure of how much is that field rotating, or
- maybe if you imagine an object in the field, how much is the
- field causing something to rotate because it's
- exerting a net torque?
- Because at different points in the object, you have a
- different magnitude of a field in the same direction.
- Anyway, I don't want to confuse you too much.
- Hopefully that example I just showed you will make
- a little bit of sense.
- Anyway, I realize I've already pushed 9 minutes.
- In the next video, I'll actually compute curl, and
- maybe we'll try to draw a couple more to hit
- the intuition home.
- See you in the next video.
Be specific, and indicate a time in the video:
At 5:31, how is the moon large enough to block the sun? Isn't the sun way larger?
|
Have something that's not a question about this content? |
This discussion area is not meant for answering homework questions.
Discuss the site
For general discussions about Khan Academy, visit our Reddit discussion page.
Flag inappropriate posts
Here are posts to avoid making. If you do encounter them, flag them for attention from our Guardians.
abuse
- disrespectful or offensive
- an advertisement
not helpful
- low quality
- not about the video topic
- soliciting votes or seeking badges
- a homework question
- a duplicate answer
- repeatedly making the same post
wrong category
- a tip or feedback in Questions
- a question in Tips & Feedback
- an answer that should be its own question
about the site
Share a tip
Suggest a fix
Have something that's not a tip or feedback about this content?
This discussion area is not meant for answering homework questions.