Indefinite integral as anti-derivative
Indefinite integrals of x raised to a power
⇐ Use this menu to view and help create subtitles for this video in many different languages.
You'll probably want to hide YouTube's captions if using these subtitles.
- Obliczmy pochodną po x z funkcji x do potęgi n+1, dzielone przez n+1, plus pewna stała c.
- I będziemy tutaj zakładać, ponieważ chcemy, by to wyrażenie było dobrze zdefiniowane,
- będziemy zakładać, że n nie jest równe -1.
- Gdyby było, dzielilibyśmy przez 0 i musielibyśmy zdefiniować co to oznacza.
- Tak więc policzmy tę pochodną. To będzie równe...
- Do pochodnej x do potęgi n+1 dzielone przez n+1 możemy zastosować "zasadę potęgi".
- Naszym wykładnikiem jest n+1, możemy to przenieść na początek, więc to będzie
- n+1 razy x do potęgi... chcę użyć tego samego koloru, kolory są tutaj najtrudniejszą sprawą...
- razy x do potęgi, zamiast n+1, odejmujemy 1 od wykładnika, to jest właśnie ta "zasada potęgi",
- więc n plus 1 minus 1 to będzie n. Nie możemy zapomnieć, że musimy podzielić przez n+1, więc podzielmy przez n+1.
- I teraz mamy plus c. Pochodna ze stałej po x... stała się nie zmienia, gdy zmienia się x,
- więc to będzie po prostu 0, więc piszemy plus 0.
- I, ponieważ n nie jest równe -1, wiemy, że to będzie zdefiniowane i to będzie coś podzielone przez siebie,
- czyli to będzie 1, a to całe wyrażenie uprości się do x do potęgi n.
- Czyli pochodna tego czegoś, co jest bardzo ogólnym wyrażeniem, jest równa x do potęgi n.
- Wiedząc już to, czym jest anty-pochodna... tylko zmienię kolor... czym jest antypochodna x do potęgi n?
- I pamiętaj, to jest tylko dziwnie wyglądający zapis, którego używamy, będzie miał on więcej sensu, gdy przejdziemy do całek oznaczonych.
- Ale czym jest antypochodna x do potęgi n?
- Możemy powiedzieć "antypochodna po x", jeśli chcemy.
- Inną nazwą jest całka nieoznaczona. Całka... nieoznaczona...
- Ale już wiemy, że x do potęgi n jest pochodną... czego?
- Właśnie się tego dowiedzieliśmy, to po prostu pochodna tego wyrażenia,
- które napisaliśmy w bardzo ogólny sposób.
- My właściwie uwzględniamy tutaj wiele stałych,
- to może być 0, 1, 2, pi, miliard...
- Więc to będzie równe x do potęgi n+1 dzielone przez n+1 plus c.
- Więc jest to dość silna reguła, możesz na to patrzyć jako na "odwróconą zasadę potęgi".
- Stosuje się ją dla wszystkich n, jeśli tylko n nie jest równe -1, pokreślmy to: n nie jest równe -1.
- Jeszcze raz, gdyby n było równe -1, to wyrażenie byłoby niezdefiniowane.
- A teraz kilka przykładów zastosowania tej reguły, którą, jeśli chcesz, możesz nazwać "odwróconą zasadą potęgi" lub "antyzasadą potęgi".
- A teraz policzmy antypochodną x po piątej potęgi.
- Czym jest antypochodna x do potęgi 5?
- Wszystko co trzeba powiedzieć to to, że spójrz - n jest równe 5, musimy dodać do wykładnika 1...
- i to będzie równe x do potęgi 5+1, a to dzielimy przez tę samą wartość, jakikolwiek jest wykładnik zwiększony o 1, dzielimy przez tę samą wartość,
- czyli dzielimy przez 5 plus 1 i oczywiście chcemy uwzględnić wszystkie możliwe antypochodne, więc dodajemy c na końcu.
- Czyli to wszystko będzie równe x do potęgi 6 podzielić przez 6, plus c.
- I można to sprawdzić. Policz pochodną tego wyniku używając zasady potęgi.
- Rzeczywiście otrzymasz x do potęgi 5.
- Weźmy inny przykład.
- Ten zapiszemy na niebiesko.
- Spróbujmy policzyć antypochodną... czegoś interesującego, niech to będzie 5 razy x do potęgi -2.
- Jak to policzymy?
- Jedno uproszczenie, które możesz wykonać, a którego póki co nie udowodniłem precyzyjnie,
- ale już wiemy, że skalar można wyciągać przed linowy operator pochodnej,
- więc to rzeczywiście będzie 5 razy antypochodna x do potęgi -2
- A teraz możemy już użyć tej, nazwijmy ją "antyzasadą potęgi"
- Więc to będzie równe 5 razy x do potęgi -2+1
- podzielić przez -2+1, plus jakaś stała.
- I możemy to przepisać jako 5 razy... x do potęgi -2+1 to x do potęgi -1, dzielone przez -2+1 czyli -1
- plus jakaś stała.
- I to jest równe 5 razy minus x do potęgi -1, plus jakaś stała.
- A teraz jeśli chcemy możemy włączyć 5 do wyrażenia
- Więc to będzie równe -5 razy x do potęgi -1
- i moglibyśmy napisać plus 5 razy jakaś stała,
- ale to jest tylko jakaś arbitralna stała,
- więc pozostanie arbitralną stałą.
- Więc możemy to zapisać jako inne stałe, powiedzmy c1, c1, c1,
- a kiedy pomnożymy c1 przez 5, otrzymujemy inną stałą, możemy ją nazwać c,
- równą 5 razy c1.
- Czyli teraz mamy -5 razy do potęgi -1 plus c.
- A teraz spróbuj policzyć pochodną i zobaczysz, że otrzymasz właśnie to wyrażenie.
Be specific, and indicate a time in the video:
At 5:31, how is the moon large enough to block the sun? Isn't the sun way larger?
|
Have something that's not a question about this content? |
This discussion area is not meant for answering homework questions.
Discuss the site
For general discussions about Khan Academy, visit our Reddit discussion page.
Flag inappropriate posts
Here are posts to avoid making. If you do encounter them, flag them for attention from our Guardians.
abuse
- disrespectful or offensive
- an advertisement
not helpful
- low quality
- not about the video topic
- soliciting votes or seeking badges
- a homework question
- a duplicate answer
- repeatedly making the same post
wrong category
- a tip or feedback in Questions
- a question in Tips & Feedback
- an answer that should be its own question
about the site
Share a tip
Suggest a fix
Have something that's not a tip or feedback about this content?
This discussion area is not meant for answering homework questions.